尋找反例的意義

2006/03/02

 

在一個論證中如果前提全部為真以有效論證來推論則結論必然為真。反過來說如果前提全部為真但結論卻為假其論證一定是無效論證。如果能夠找到一個例子使一個論證的前提全部為真而結論卻為假那麼我們就可以證明這個論證是無效論證。這樣的例子就叫做反例。

尋找反例就是證明一個論證為無效論證的方法。從日常生活的角度來說反例的存在就是告訴我們我們的推理是錯的。

當我們要判斷一個前提或是一個結論的真假時我們需要從它的內容來看然而當我們判斷一個論證是否有效時我們可以完全不用看一個論證的內容只需看它的形式。例如

前提一﹕今天下雨。

前提二小王喜歡下雨天。

結論小王今天很高興。

這是一個用日常生活用語的論證首先我們要將它們改成比較像是邏輯論證的樣子也就是要使用互相有關聯的用詞來重新陳述它例如

前提一﹕今天下雨。

前提二只要今天下雨小王今天就會很高興。

結論小王今天很高興。

我們把前提二改了這樣的改變是不是正確其實是可以有爭議的因為小王喜歡下雨天似乎並不必然表示每當下雨他就會高興。但是我們可以暫時不追究這樣的爭議現在我們只需要針對這個例子來討論其真假以及有效無效。如果我們想要知道其真假我們一定要依照其內容例如看看外面是否下雨來檢驗「今天下雨」這個命題是否為真然而如果我們要看這個論證是否有效我們必須看它的論證形式也就是其去除掉內容後的結構上面這個論證可以形式化如下首先P=今天下雨Q=小王今天很高興。那麼這個論證的形式可以表達如下

前提一﹕P

前提二P à Q

結論Q

這就是上面論證的形式我們便可以由這個形式是否總是可以由全部為真的前提導出真的結論來判斷論證是否有效。所以當我們判斷一個論證是否有效時我們根本不用擔心前提和結論說了什麼﹐只需擔心它們的這個結構中前提是否總是能夠推出結論。有效論證保證只要前提為真則結論必為真。但在此要注意的是有效論證不保證前提為真所以也不保證結論為真它只保證「如果前提為真的話結論必然為真。」那麼如果上面的論證形式為有效論證我們絕對找不到「反例」。也就是說我們絕對找不到某種內容代入該形式後使得前提全部為真而結論卻為假的情況。反之如果該形式為無效論證我們便應該可以找到某種情況使得前提全部為真而結論為假。只要找到出現這種情況的可能性我們便找到了反例而可以斷定此論證形式為無效論證然而須注意的是如果想不出反例也不能宣稱反例不存在﹐因為可能存在但卻想不出來若要證明一個論證形式是有效論證必須經由邏輯方法來證明也就是說「尋找反例」的方法是用來證明一個論證為無效論證而不能用來證明一個論證是有效論證。

然而上面那個論證形式是有效論證所以我們用去找反例﹐要證明該論證是有效論證可用邏輯規則MP(請參考邏輯規則表), 此規則事實上就是該形式那麼我便可以知道此論證是有效論證。那麼現在讓我們看看令一個論證形式

前提一﹕P à Q

前提二Q

結論P

符合這個論證形式的論證很多例如

前提一﹕如果小明中樂透則小明會買珍珠項鍊送小真

前提二小明的確買了珍珠項鍊送小真

結論所以由此得之小明中了樂透。

這個論證中的前提以及結論或許都是真的但是當我們要衡量一個一個論證是否有效時我們可以忽略其內容而只看其推論形式。無效的推論形式也可能碰巧推出真的結論但是一個有效論證保證由真的前提一定推出真的結論所以當我們要衡量這個論證是否有效只要找出其它可能的例子使其前提全真而結論假即可簡言之只要反例存在則論證必然無效。反例如下:

前提一﹕如果小明去火星則小明沒辦法呼吸。

前提二現在小明沒辦法呼吸。

結論因此﹐小明去了火星。             

在這個例子中小明無法呼吸的可能性很多即使前提都是真的結論也可能是假的也就是說這個論證形式有可能導出前提全真而結論假的情況那麼因為反例的存在讓我們看到這種可能性因此我們可以確定這個論證無效。而當我們說這個論證無效時指的是只要是用這種論證形式的推論都是無效論證。

在日常生活中你可以把自己所做的推理中的前提與結論找出然後將之化為論證形式然後試試看能不能以邏輯規則推出或是找找看是否存在有反例藉此衡量自己推理的可信度。

大學哲學系冀劍制

 

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